Brouwer’s fixed point theorem

Let $𝑓 : 𝔹 𝑛 \to 𝔹 𝑛$ be a continuous function. Then $𝑓$ has a fixed point, i.e. there exists $𝑥 \in 𝔹 𝑛$ such that $𝑓 (𝑥) = 𝑥$ . topology

Proof

proof Requires some more advanced topology, however a key step is defining the ray-intersection
$𝑟 (𝑥) = 𝑥 + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \sqrt 1 - ‖ 𝑥 ‖ 2 + (𝑥 \cdot (𝑥 - 𝑓 (𝑥)) ‖ 𝑥 - 𝑓 (𝑥) ‖) 2 - 𝑥 \cdot (𝑥 - 𝑓 (𝑥)) ‖ 𝑥 - 𝑓 (𝑥) ‖ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝑥 - 𝑓 (𝑥) ‖ 𝑥 - 𝑓 (𝑥) ‖$
We can then argue using the fundamental groups of the disk and sphere.

Corollaries

The retraction theorem for an $(𝑛 + 1)$ -ball is equivalent to Brouwer’s theorem for an $𝑛 + 1$ -ball, which states

There exists no continuous retraction $𝑟 : 𝔹 𝑛 + 1 \to 𝕊 𝑛$ , i.e. no continuous $𝑟$ such that $𝑟 𝜄 = i d 𝕊 𝑛$ .

Beweis von Äquivalenz

Sei $𝑝 (𝑛)$ und $𝑞 (𝑛)$ der Retraktionssatz bzw. der Fixpunktsatz von Brouwer für $𝔹 𝑛 + 1$ .

Angenommen $\neg 𝑞 (𝑛)$ , existiert ein stetiges $𝑓 : 𝔹 𝑛 + 1 \to 𝔹 𝑛 + 1$ mit $𝑓 (𝑥) \neq 𝑥$ für jedes $𝑥 \in 𝔹 𝑛 + 1$ . Dann ist das oben definierte $𝑟 : 𝔹 𝑛 + 1 \to 𝕊 𝑛$ stetig, und $𝑟 𝜄 = i d 𝕊 𝑛$ , d.h. $\neg 𝑝 (𝑛)$ . Also $𝑝 (𝑛) ⟹ 𝑞 (𝑛)$ .

Angenommen nun $\neg 𝑝 (𝑛)$ , existiert ein stetiges $𝑟 : 𝔹 𝑛 + 1 \to 𝕊 𝑛$ mit $𝑟 𝜄 = i d 𝕊 𝑛$ . Sei $𝑎 : 𝕊 𝑛 \to 𝕊 𝑛 : 𝑥 \mapsto - 𝑥$ die Abbildung, die Punkte auf ihre Antipoden abbildet. Dann ist $𝜄 𝑎 𝑟 : 𝔹 𝑛 + 1 \to 𝔹 𝑛 + 1$ eine stetige Abbildung mit keinen Fixpunkten, also $\neg 𝑞 (𝑛)$ . Also $𝑞 (𝑛) ⟹ 𝑝 (𝑛)$ .

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Brouwer’s fixed point theorem

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