Algebra theory MOC

Derivation subalgebra

Let 𝔡𝔢𝔯⁡(𝐴) be the set of all derivations of an algebra (𝑉,𝐵) over 𝕂, i.e.

𝔡𝔢𝔯⁡(𝐴)={𝐷∈End𝕂⁡𝑉:(∀𝑎,𝑏∈𝐴)[𝐷𝐵(𝑎,𝑏)=𝐵(𝐷(𝑎),𝑏)+𝐵(𝑎,𝐷(𝑏))]}

Then 𝔡𝔢𝔯⁡(𝐴) is a Lie subalgebra of the commutator algebra of the endomorphism ring, falg i.e. the commutator of two derivations is itself a derivation.

Proof

Let 𝐷,Δ ∈D(𝐴) and 𝑎,𝑏 ∈𝑉. Then

[𝐷,Δ]𝐵(𝑎,𝑏)=𝐷Δ𝐵(𝑎,𝑏)−Δ𝐷𝐵(𝑎,𝑏)=𝐷(𝐵(Δ(𝑎),𝑏)+𝐵(𝑎,Δ(𝑏)))−Δ(𝐵(𝐷(𝑎),𝑏)+𝐵(𝑎,𝐷(𝑏)))=⎛⎜ ⎜ ⎜⎝𝐵(𝐷Δ(𝑎),𝑏)+𝐵(Δ(𝑎),𝐷(𝑏))+𝐵(𝐷(𝑎),Δ(𝑏))+𝐵(𝑎,𝐷Δ(𝑏)).−𝐵(Δ𝐷(𝑎),𝑏)−𝐵(𝐷(𝑎),Δ(𝑏))−𝐵(Δ(𝑎),𝐷(𝑏))−𝐵(𝑎,Δ𝐷(𝑏))⎞⎟ ⎟ ⎟⎠=𝐵(𝐷Δ(𝑎),𝑏)−𝐵(Δ𝐷(𝑎),𝑏)+𝐵(𝑎,𝐷Δ(𝑏))−𝐵(𝑎,Δ𝐷(𝑏))=𝐵(𝐷Δ(𝑎)−Δ𝐷(𝑎),𝑏)+𝐵(𝑎,𝐷Δ(𝑏)−Δ𝐷(𝑏))=𝐵([𝐷,Δ]𝑎,𝑏)+𝐵(𝑎,[𝐷,Δ]𝑏)

hence [𝐷,Δ] ∈D(𝐴).

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